> יסלח לי על הסינית כל מי שחושב שזה סינית <
טענה (זה עוד לא המשפט, כי צריך להוכיח עוד משהו): בין כל שתי קבוצות (אינסופיות, אך זה נכון גם לסופיות) יש סדר.
כלומר: אם A ו- B קבוצות, אז מתקיימת אחת משתי האפשרויות:
- יש פונקציה 1:1 ערכית מ- A לתוך B (ואז A קטנה או שווה לB)
- יש פונקציה 1:1 ערכית מ- B לתוך A.
הוכחה - בעזרת אקסיומת הבחירה פעמיים, פעם אחת כפשוטה, ופעם אחת ביושבה כלמה של צורן:
בונים התאמה 1:1 על ידי זה שכל עוד אפשר - נוטלים אבר מ- A ואבר מ- B שטרם זווגו, ו"מזווגים" אותם במובן שמוסיפים את זוג האברים האלה לגרף.
כיוון שזה לא סופי, אז אי אפשר לדבר על תהליך, אך כן אפשר לדבר על סדר.
כך יש קבוצה סדורה של גרפים, אשר מקיימת את הנחות הלמה של צורן.
לכן יש גם גרף מכסימאלי.
אם עדיין יש אברים שלא זווגו, אז אפשר לזווג אותם, ובכך להגדיל את הגרף, ואז הגרף לא מכסימאלי. לכן בגרף המקסימאלי מוצו או כל אברי A או כל אברי B.
לכן, או שיש לנו בגרף פונקציה 1:1 מ- A לתוך B, או שבשיחלוף של הגרף יש פונקציה 1:1 מ- B לתוך A.
עתה נותר להוכיח שאם יש פונקציות כאלו בשני הכיוונים - אז A שקולה ל- B.
גם זה דורש את אקסיומת הבחירה, ועל כך במקטע הבא.